Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.
La definición de la hipérbola como lugar geométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida
| Definición |
| Una hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante. |
La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.
Figura 1.
| Teorema (ecuación canónica de la hipérbola) |
| La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es
con eje transversal horizontal. Y
con eje transversal vertical. |
Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de

unidades del centro. Además
Figura 2.
Resumiendo:
Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

El centro está en

Los vértices están en

Los focos están en

.
Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

El centro está en

Los vértices están en

.

Los focos están en

.
Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones
2a y
2b y centro en

.El segmento recto de longitud
2b que une

se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.
| Teorema (Asíntotas de una hipérbola) |
| Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son
y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son
|
Observación : las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones

y

centro

.Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.
| Definición (excentricidad de una hipérbola) |
| La excentricidad de una hipérbola está dada por el cociente
|
Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.
La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).
| Teorema (propiedad de reflexión) |
| La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos. |
Figura 3.
Ejemplo 1
Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
Solución
Completando el cuadrado en ambas variables
Por tanto, el centro está en

. El eje de la hipérbola es horizontal,

y
Los vértices están en

, los focos en

y

y la excentricidad es

. La gráfica se muestra en la figura 3.
Figura 4.
Ejemplo 2
Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en

y

y asíntotas

y

. Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.
Solución
Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son

. Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y

. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.
Por tanto, la ecuación canónica es
El valor de

está dado por
Los focos están en

y

y la excentricidad es

La gráfica se muestra en la figura 4.
Figura 5.
Ejercicios
-
Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola tal que para cualquier punto sobre ella la diferencia entre sus distancias a los puntos

y

es

.
-
Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola con vértices en

y

y asíntotas en

.
-
Hallar el valor de

de forma que la hipérbola
sea tangente a la recta
.
- Determine el tipo de cónica representada por la ecuación
en los casos
a.) Si
b.) Si
c.) Si
5. Determine la excentricidad de la cónica con ecuación: |  | 0 |